2018年宁夏大学农学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
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2018年宁夏大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（一）.... 2 2018年宁夏大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（二）.... 9 2018年宁夏大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（三）.. 18 2018年宁夏大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（四）.. 28 2018年宁夏大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（五）.. 34
一、解答题
1．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为
，由于
所以
为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
2．
已知
二次型的秩为
2.
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型.
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【答案】
⑴由可得
，
则矩阵
解得
B 矩阵的特征值为
：当
时
，解
得对应的特征向量为
当时，解
得对应的特征向量为
对于解得对应的特征向量为：
将单位转化为：. 令X=Qy,
则
3．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵A
和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A 的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B 的特征值也是
当
时，由秩
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知
A 可以相似对角化.
而
有2个线性无关的解，
即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
时矩阵B 只有1个线性无
只有1个线性无关的解，即
关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似. 4．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
为任意常数.
二、计算题
5．
验证
并把【答案】因
，
，
为
的一个基，
用这个基线性表示.