2017年西华师范大学高等代数(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 设2n 阶方阵
其中E 是n 阶单位矩阵. （1）求A 的特征多项式； （2）求A 的最小多项式； （3）求A 的若当标准形. 【答案】⑴
（2）由（1）知A 的最小多项式至少是2次多项式，又因为项式
（3）由于又
所以
从而A 的若当标准形为：
存在n 阶子式1，所以有其n 阶行列式因子
从而有
所以，A 的最小多
2． 设实数域上矩阵
（1）判定A 是否为正定阵，要求写出理由.
（2）设V 是实数域上的3维线性空间，V
上的一个双线性函数
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在V 的一个基
下的度量矩阵为A , 证明：
欧氏空间的一个标准正交基.
是V 的一个内积；并且求出v 对于这个内积所成的
【答案】（1）实对称阵A 的三个顺序主子式为
∴A 为正定阵. （2）任取
是V 的内积.
令
那么
令
则
且
使
其中
令
则
就是V 的一个标准正交基. 事实上，
设
在
下矩阵B ,
则有
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3． 设
求
中全体与A 可交换的矩阵所成子空间的维数和一组基.
【答案】令
显然
当且仅当
也即BT=TB.写出来就是
即为
由对应元素相等，得出
求解这个齐次线性方程组，得一般解为
其中零；
=1，其余为零；
个矩阵：
是自由未知量. 分别对自由未知量取其佘为零；
其余为零；
其余为
其佘为零，得5组解. 分别对应了C （A ）中5
任意
当且仅当
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