2017年西北民族大学964高等代数复试实战预测五套卷
● 摘要
一、分析计算题
1． 求所有满足条件
【答案】在己知等式中，令由因式定理，所以
有因式
得设
由此有
即有无穷多个x ，使_数. 不
难验证，对任一常数a ，如上
2． 设
证明：【答案】记由
是线性空间的同构映射，而同构映射保持向量组的线性相关性，故
3． 设V 是n 维欧氏空间，内积记
为
证明：
【答案】证法1
则
且
使得
即所以证法2
则由此可知
是直和. 又结合
是直和知，
又任取
则
所以
（因为
别取
有
所以
即
>
故
又若
则由
所以
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的多项式
将式（1）、式（2）代入已知等式，由消去律得
均取同一值0, 所以
满足题设要求.
故
0为常
是II 维线性空间V 的一组基，A 是一个
的维数等于A 的秩.
由式（6—21）知
在基
矩阵，且
_的坐标，
又设T 是的一个正交变换，
记
所以
（£为恒等变换） 从而
有
知特
即
故有
综上可知，
从而
4． 设A 是数域K 上的一个mxn 矩阵，B 是一个m 维非零列向量，令
（1）证明：W 关于（2）设线性方程组
的运算构成
的子空间.
证明W 的维数
的增广矩阵的秩为
（3）对于非齐次线性方程组
求W 的一个基. 【答案】（1）显然W 是因为
所以（2）因为
对于任意的
故W 是
所以存在
的子空间. 元线性方程组
的解空间V 的维数为
下面证明
的非空子集.
则存在
使
显然t 是惟一的，于是
存在
使
于是
是映射，容易验证是双射. 那么
故是同构映射，从而
（3）由（2）的证明可知W 和线性方程组
的解空间V 同构，解得
这里
是自由未知量. 取基础解系
它们在下的原像为
故
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是W 的基.
5． 举例说明断语“如果a 是
则
的m 重根，那么a 是的
重根”是不对的.
【答案】可以用反例来说明这一结论. 设
因此a 是
6． 求正交矩阵T 使
的优重根，但是a 不是f （x ）的根.
成对角形，其中A 为
【答案】⑴
A 的特征值：1，-2, 4. 属于属于属于将
的全部特征向量为：的全部特征向量为：的全部特征向量为：
分别单位化，并以此为列作矩阵
则T 为正交矩阵且（2）
为对角矩阵.
A 的特征值：1，1，10.
对
求特征向量，解齐次线性方程组：
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