2017年温州大学高等数学基础之高等代数考研复试核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
求如下行列式
.
【答案】易知
2． 矩阵的列（行）向量组如果是线性无关的，就称该矩阵为列（行）满秩的. 设A 是则A 是列满秩的充分必要条件为存在
可逆阵P 使
同样地，A 为行满秩的充分必要条件为存在【答案】讨论列满秩的情形. 充分性. 设
其中P 可逆. 于是
故A 为列满秩. 必要性.
为列满秩，则它的标准形为
即有
可逆使
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矩阵，
可逆矩阵Q 使
令
3． 计算2n 阶行列式
即为所求.
类似地可证明行满秩的情况.
【答案】解法I 将
的第2n 列加到第1列，第
列加到第2列，…，第n+1列加到第n
列；再从前n 列中都提出x+y, 得
再用乘第角线上元素为
列后依次分别加到第
列，则以上行列式便化成主对
的下三角形行列式，因此，解法II
设
则可从
的前n 行中各提出X ，从后n 行中各提出y ，得
再将此行列式的第角线上元素为
列乘依次分别加到第
列后，便化为主对
的下三角形行列式，因此
当x ，y 中若有零时由原行列式直接知，以上结果仍成立. 4．
设
雒欧氏空间的两个线性变换
都有【答案】由题设
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在
的基下的矩阵分别是A 和B ，证明
：
则存在正定矩阵P ，使
任给则
令
同理
令基
的度量矩阵为
则
同理
因故
考虑
5． 设
的任意性，并结合
与
均为对称矩阵知
为两个不全为零的多项式，n 为正整数. 证明：
【答案】①若则显然 _反之，
设
从而
这与
矛盾.
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下
证若不然，则必有不可约多项
式
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