2017年广东工业大学应用数学学院602数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
具有性质
【答案】(1) 由
得
即(2) 令
令
则有
2． 设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集
(1) . (2)
【答案】(1) 对任意的
因此
对于任意正
数
，故
(2) 同理可证.
3． 叙述并证明：二元函数极限的惟一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理.
(1) 惟一性定理：若极限(2) 局部有界性定理：
若
上有界.
(3) 局部保号性定理：若
的某空心邻域
使得对一切点
在点
时，
从而，
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证明：
对
两边关于求偏导数得
证明：
存在
是A+B的一个上界.
使
得即
于是
，
并
且
使得c=a+b, 则设
于是
. 存
在
存在，则它只有一个极限.
则存在点
的某空心邻域
则对任意正数桓有
处的极限，则对任给的
存在使
存在
当
在1
【答案】(1) 设A ，B 都是二元函数
由(2) 设即
的任意性，故A =B
则对
存在
对
有
这说明函数(3) 设故当对于
在上有界.
由函数极限的定义知：存在相应的
时，
对一切
有
的情况可类似证明.
二、解答题
4． 设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到xy 平面的距离成反比，
若质点沿直线
到
【答案】设比例系数为k ，则点到因为力的方向指向原点，故其方向余弦为
其中
力的三个分力为
5． 求曲线积
分
交成的曲线.
【答案】记
等价于
利用斯托克斯公式得，
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求力所作的功.
平面的距离为z ，故
这里L 是球
面
与
6． 设函数f (x ) 满足条件
【答案】因为n=l, 2，... 时
所以
7． 求
【答案】由于
所以
同理可得
即f (x ) 在
内的傅里叶级数的特性为
问此函数在
上的傅里叶级数具有什么特性？
由原函数的连续性，若记
则故
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