● 摘要
受数理金融领域应用的推动, 随机度量理论当前的一大发展方向是为条件风险度量的模途径提供坚实的分析基础. 这一发展目标被称为随机凸分析, 主要内容就是在随机赋范模, 随机局部凸模等随机度量理论的核心框架上建立一套凸分析的类似理论. 本文的研究服务于这一目标, 主要关注的是随机赋范模中$L^0$--凸子集的几条基本结构性质. 全文内容分为七章:第一章, 简要介绍随机赋范模及其随机共轭空间理论以及本文的主要研究内容;第二章, 给出常用的符号, 并且回忆随机赋范模, 随机共轭空间和随机局部凸模等基本概念和本文将引用的重要结果;第三章, 首先研究由随机赋范模生成的赋范空间以及生成的随机赋范模的完备性问题, 接着用随机赋范模理论中的研究结果证明Stricker引理. 章内所回顾的一部分内容将在后面两章中用到;第四章, 研究从闭区间到随机赋范模的抽象值函数的Riemann可积性的几个基本问题, 先后给出一个值域并非几乎处处有界但Riemann可积的函数以及一个连续但并不Riemann可积的函数的例子, 最后给出从一个闭区间到一个完备随机赋范模的所有连续函数都Riemann可积的充要条件;每五章, 研究随机赋范模中$L^0$--凸子集的支撑点集和支撑几乎处处有界随机线性泛函集的性质, 完整建立$(varepsilon,lambda)$--拓扑下完备随机赋范模中的Bishop-Phelps定理;第六章, 在随机局部凸模中引入$L^0$--正齐性$L^0$--凸锥的概念, 建立随机局部凸模中的Farkas引理;第七章, 在$n$维随机变量等价类构成的空间$L^0({cal F}, R^n)$中引入随机多面体的概念, 给出随机多面锥的Minkowski-Weyl型特征以及一般随机多面体的Minkowski-Weyl型表示.
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