2018年新疆农业大学林学与园艺学院601大学数学1之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。 2．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B.
此时
，所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
3．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
为任意常数.
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
又由
得
因
与
可知综上可知
，
4．
已知矩阵
可逆矩阵P ，使
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B
的特征值也是
当
时，由秩
知
A 可以相似对角化.
而
有2个线性无关的解，
即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
时矩阵B 只有1个线性无
只有1个线性无关的解，即
关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似.
二、计算题
5．
设
证明A 的特征值只能取1或2.
是
的特征值. 但是，零矩阵只有特征值
【答案】设A 是A 的特征值，
则0,
故则A=1或A=2.
6． 非齐次线性方程组
当λ取何值时有解? 并求出它的通解.
【答案】这里系数矩阵A 是方阵，但A 中不含参数，故以对增广矩阵作初等行变换为宜，求解如下：
因R （A ）=2, 故当R （B ）=2，
即当当
时，
选为自由未知数，得同解方程组
得通解
当
时，
或时，方程组有解.