2018年新疆农业大学林学与园艺学院610大学数学2之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为
2． 设n 维列向
量
【答案】
记
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
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，由于
所以
为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
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显然①与②同解
.
下面求解②
：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数.
3． 设
A 为
的解为【答案】由利用反证法，
假设以有
解矛盾，
故假设不成立，则
由
.
4． 已知
得
有无穷多解
.
易知特解为
从而②的通解，
即①的通解为
对应齐次方程A
为任意常
矩阵且有唯一解. 证明
：矩阵
为A 的转置矩阵）.
易知
为可逆矩阵，
且方程组
只有零解.
使.
所只有零
有惟一解知
则方程组
.
即
即有
可逆
.
有非零解，即存在
于是方程组
有非零解，
这与
其中E 是四阶单位矩阵是四阶矩阵A 的转置矩阵，
求矩阵A
【答案】对
作恒等变形，有即
由故矩阵可逆.
则有
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以下对矩阵做初等变换求逆，
所以有
二、计算题
5． 设A 为正交阵，且detA=-1, 证明λ=-1是A 的特征值.
【答案】
由特征方程的定义因此，
只需证
6．
设
求
而
是A
的特征值
【答案】利用矩阵A
的相似对角阵来求（1）求A 的特征值：
所以A
的特征值为（2
）对应
解方程
并且它们互不相同，知A 可对角化. 由
得特征向量
对应
解方程由
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