2018年新疆农业大学林学与园艺学院601大学数学1之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 设三阶方阵A 、B
满足式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵.
若
求行列
【答案】
由矩阵
知则
. 可
逆.
又
故
即
所以
即
而
故
2．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
的基础解系.
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，
则当g=0时，
则值的特征向量.
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线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
由知
（Ⅱ
）
3．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
知
的基础解系，
即为
的特征向量
又由
得
因
与
可知综上可知
，
4． 设二次
型
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
矩阵A 满足AB=0, 其
中
（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ
）求【答案】
（Ⅰ）由
为标准形，并写出所用正交变换；
知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.
记
值（至少是二重）
，
则是
的线性无关的特征向量.
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由此可知
，是矩阵A 的特征
根据
值是0, 0, 6.
设
有
对
有
的特征向量为
解出
正交化，
令
则
故知矩阵A
有特征值因此，矩阵A 的特征
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，
再对
，单位化，得
那么经坐标变换
即
二次型化为标准形（Ⅱ）因为
又
有
所以由
进而
得
于是
二、计算题
5． 已知线性变换
求从变量
【答案】
记系数矩阵.
因性变换的矩阵形式为
到变量
，
的线性变换.
，则线性变换的矩阵形式为x=Ay，其中A 为它的
故A 是可逆阵，
于是从变量
到变量
的线
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