2018年新疆农业大学草业与环境科学学院610大学数学2之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
设
为三维单位列向量，并且
记
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
故A
有零特征值
的非零解即为
对应的特征
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
2． 设线性方程
m
则
即A
相似于矩阵
试就讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
【答案】
对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，如下
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（
1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答
:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解
，解得其基础解系为
为任意常数.
此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（3）当（
4）当
即
时
此时方程组无解
.
3．
已知二次型
的秩为2.
求实数
a 的值
；
求正交变换x=Qy使得f
化为标准型.
【答案】⑴由
可得，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为：当
时，解
得对应的特征向量为
当时，解得对应的特征向量为
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对于
解得对应的特征向量为
：
将单位转化为
：
. 令X=Qy,
则
4． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
故所求的方程组可取为
将
代入得，
构
解得此方程组
二、计算题
5．
设
求
【答案】把A 写成两个矩阵之和
其中三阶矩阵
于是
满足
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