2017年吉首大学量子力学(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设
是
（1）计算（2）计算
并将结果表示为三个泡利矩阵的线性组合（要求给出组合系数）。 的本征态
试证该态与的方向无关，即由不同得到
方向的单位矢量，在表象中
，
（3
）设两电子自旋态为的态最多相差相因子。 【答案】⑴
（2）设的本征值为，本征矢为
则:
解久期方程将
，可得：
分别代入本征方程，得到与对应的本征矢为：
与对应的本征矢为：
表示为：
（3）利用矩阵直积的知识，可将
因此，对任意
倍。得证
得到的与态只相差
2． 对于一个限制在边长为L 的立方体中的自旋为1/2、质量为m 的粒子，计算基态与第二激发态的本征能量及相应的本征态波函数.
【答案】这是一个三维方势阱问题，例子波函数为
S 为自旋波函数. 可分离变量得
最终解得
代表例子自旋朝上和朝下两种状态.
由于粒子自旋此时并不会对粒子能量产生影响，故
粒子能量基态：对应波函数为：例子第一激发态能量：对应波函数有：
第二激发态能量：
对应波函数有：
3． 粒子在一维无限深势阱中运动. 设该体系受到的微扰作用。（1）利用微扰理论求第n 能级的准至二级的近似表达式. （2）指出所得结果的适用条件. 【答案】（1） 一维无限深方势阱： 体系的零级近似波函数和零级近似能量
求到二级，矩阵元一般形式
则第n 能级的二级近似能量
（2）结果适用的条件是：
即