题目：关于稳定性的若干问题

本文对稳定性提出及发展过程作了详细的介绍,给出方程和方程组的稳定性和超稳定性、不等式的稳定性的定义.同时研究了代数同态、非线性算子、$r$-半群同态、两类方程和不等式的相关稳定性问题. 本文共分4章: 第1章,给出了$varphi$-$psi$-近似代数同态、$eta$-近似代数同态和近似代数同态稳定性的定义, 研究了代数同态、约当映射与约当同态之间的关系,解决了Banach代数间近似代数同态的稳定性问题. 第2章,研究了算子$A$的$varepsilon$-稳定性、一致$varepsilon$-稳定性、强一致稳定性、弱稳定性、强稳定性,在此基础上给出了这些稳定性的一些充分条件、必要条件和充要条件. 第3章,首先,引入了$r$-元结构并给出了一些相关定义,讨论了从可交换半群到Banach空间映射的广义Hyers-Ulam-Rassias稳定性;再次, 我们得到到可乘范数的Banach代数空间的$r$-元同态超稳定性的一个结论；最后,由右不变性质,我们得到一个重要定理,作为其应用,根据右不变相向量空间的性质,我们得到了$r$-元同态超稳定性的另一个重要结论. 第4章,我们研究了方程 $$f(x)+f(y)+f(z)=2fleft(frac{x + y +z}{2} ight),$$ $$f(x)+f(y)+2f(z)=2f(frac{x+y}{2}+z)$$ 和不等式 $$|f(x)+f(y)+f(z)|_Yleqleft|2fleft(frac{x + y +z}{2} ight) ight|_Y,$$ $$|f(x)+f(y)+2f(z)|_Yleqleft|2fleft(frac{x + y}{2} +z ight) ight|_Y$$ 的广义Hyers-Ulam-Rassias 稳定性.}}