2018年湖南省培养单位亚热带农业生态研究所603高等数学(丙)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 设三阶方阵A 、B
满足式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵.
若
求行列
【答案】
由矩阵
知则
. 可
逆.
又
故
即
所以
即
而
故
2． 设A
为
的解为【答案】
由
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
3．
已知
得
且
有
有惟一解知矩阵
且
有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
则方程组
. 即
即
可逆.
.
求
故
故
知
第 2 页，共 42 页
为可逆矩阵，
且方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有非零解，即存在
于是方程组
有非零解，这与
【答案】
由题意知又
又
得
知
即
4． 已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵
（
Ⅱ
）求【答案】
当a=-1
及a=0
时，方程组均有无穷多解。 当
a=-l时
，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性相关
，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
的基础解系.
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1,
-1
,
0, 对应的特征向
（Ⅱ）
知
的基础解系，
即为
的特征向量
二、计算题
5．
设
左乘所给方程两边，得
又，注意到
第 3 页
，
共
42 页
，求B.
因此仍从公式
着手. 为此，用A
右乘上式两边，得
【答案】由于所给矩阵方程中含有A 及其伴随阵
故A 是可逆矩阵，用
是可逆矩阵，且于是
6．
设A , B 都是
n 阶矩阵
，且A 可逆，证明AB
与BA
相似.
【答案】因A 可逆，故
7．
已知
（1）能由
（2
）
不能由
，故
（2）
方法二：（1
）无关）；又
，表示.
（2）反证法：若由
能由
线性表示，
而由（1）, 可由线性相关
. 于是
线性表示. 这样，也就能，
此与
相矛
线性表示，
从而可知
向量组向量组
线性表示；
线性表示.
，知则知
能由
，
则知
不能由线性无关
线性相关. 于是
，必能由
，又己知
线性表示； 线性表示. （惟一地）线性
证明
由定义，AB 与BA 相似.
【答案】方法一
：（
1
）由
线性无关（整体无关则部分
盾.
8． A 取何值时，非齐次线性方程组
⑴有惟一解；
⑵无解；（3
）有无穷多解？ 【答案】系数矩阵A
的行列式为
当当
时，即当时，增广矩阵成为
可见，当
时，
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时，R （A ）=3, 方程组有惟一解；
于是方程组有无穷多解；