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一、解答下列各题

1． 设x=x（y , z ）, y=y（z , x ）, z=z（x , y ）为由方程F （x , y , z ） =0所确定的隐函数. 证明:

.

【答案】由隐函数定理知

所以得

2． 证明:若f （x , y ）在有界闭区域D 上连续, g （x , y ）在D 上可积且不变号, 则存在一点

使 得

【答案】不妨设

. 令M , m分别是f 在D 上的最大、最小值, 从而

若若

, 则由上式, 则必大于0, 于是

由介值性定理, 存在

, 使得

即

3． 设

（1）

（2）计算重积分【答案】（1）令S 为

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.

. 于是任取即可.

, 证明:

由对称性显然可得

而

所以

（2）利用（1）的结果得

4． 设函数f 在区间I 上满足利普希茨（Lipschitz ）条件, 即存在常数L>0, 使得对I

上任意两点

都有

证明:f 在I 上一致连续. 【答案】对任给的故f 在I 上一致连续.

5． 试证明:函数F （x , y ）在点一阶偏导数）.

【答案】F 的等值线为F （x , y ）=c, 它在点故等值线在点 6． 证明:

于区间

（其中

由于

）一致连续, 但是于在

内连续,

从而在

内不一致连续。 内一致连续, 则在区

的法向量

的切线方程为

即结论成立.

的梯度恰好是F 的等值线在点

的法向量（设F 有连续

取

, 则当

且

时, 有

【答案】（1

）由于间

内也一致连续。 （2）利用定义, 取

存在

取尽管有

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但是

,

从而函数

在区间

内不一致连续。

二、计算下列各题

7． 设函数

【答案】构造函数:

可知

,

连续且有界。但是

在

时非一致连续.

当

令

当n 足够大的时候

时,

在开区间在

内连续且有界, 试讨论内非一致连续

.

在

内的一致连续性.

反证法:如果函数一致连续, 则对

出现矛盾, 所以原命题成立.

8． 设

（2）求【答案】（1）即当n=0时, 原命题成立.

对

即

（2）把x=0代入等式又因为

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.

； , 故

两边求n 阶导数, 得

, 故当

, 所以

时, 原命题成立. 得

,

,

.

（1）证明

y 满足方程