2018年安徽理工大学应用数学601数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 举例说明:若级数
对每个固定的p 满足条件
此级数仍可能不收敛. 【答案】如级数
，若p 为某一个固定的数，则
但级数 2． 证明:
【答案】
且当
有时有
, 所以当
在
时在内连续.
:在
内连续.
, 关于x 在
内单调递减,
发散.
上一致收敛于0.
内闭
由狄利克雷判别法知,
一致收敛, 又被积函数连续, 于是F （y ）在 3． 设
, 证明:
上一致收敛, 即F （y ）在
【答案】由拉格朗日中值定理知,
, 使得
因为上式右端大于0, 所以f （b ）-f （a ）>0 下面只需证明:令因为当
时
,
, 则
.
, 显然x=2是g （x ）在
当l , , 从而原不等式成立. 上的唯一驻点. 所以x=2是g （x ）的最大值点. 于是 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ 4． 设 在 上二次连续可微, 且, 证明: 其中 【答案】由Taylor. 展开式知 取 对②积分得到 从而有 5． 证明下面的方程在点, （0, 0, 0）附近惟一确定了隐函数z=f （x , y）并将f （x , y ）在点（0, 0）展开为带皮亚诺型余项的二阶泰勒公式. 【答案】令 则F （x , y , z ）在点（0, 0, 0）的邻域内连续, 在点（0, 0, 0）的邻域内连续, 且由隐函数求导法则易知 代入①得到 ① ② , , 于是由隐函数存在定理, 方程F （x , y , z ） =0 在点（0, 0, 0）附近惟一确定了隐函数z=f （x , y ）, 满足f （0, 0） =0. 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ 所以 于是 6． 证明 :若 【答案】由 的构造, 知 则数列 且 所以, 数列设以 7． 设 , 证明 令于是 , 则 , 从而原不等式成立. , 故f （x ）在（0, 1）上单调递减. 单调递减且有下界, 故其必收敛. 对 两边取极限, 得 解之, 得 所 收敛, 求其极限。 【答案】原不等式 8． 设f （X ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内有二阶导数, 且 求证: （1）函数f （x ）在（0, 1）内恰有两个零点; （2）至少存在一点 , 使得 （见图）: 【答案】（1）函数f （x ）在[0, 1]上有惟一的最小值点