2017年西北大学综合考试之概率论与数理统计简明教程考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设总体X 的分布函数为
是来自总体的简单随机样本，（1）求
量；（3）是否存在常数a ，使得对任意的
都有
其中为未知的大于零的参数
，
；（2）求
的极大似然估计
【答案】（1）由题意，先求出总体X 的概率密度函数
（2）极大似然函数为则当所有的观测值都大于
零时
，
（3）由于可知
令
得
的极大似然估计量为
独立同分布，显然对应的
由辛钦大数定律，
可得
故存在常数
使得对任意的
都有
也独立同分布，又有（1）
再由（1）（2）可知
，
2． 设
相互独立，且试求中
（1）至少出现一个的概率； （2）恰好出现一个的概率； （3）最多出现一个的概率. 【答案】⑴（2）
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（3）P （最多出现一个）=P（恰好出现一个）+P（都不出现）=2/9+1—26/27=7/27.
3． （1）某种岩石中的一种元素的含量在25个样本中为：
有人认为该样本来自对数正态分布总体，请设法用w 检验方法作检验（【答案】（1）首先应对数据进行对数变换. 记在下表中，
由此可算得
表
）.
）.
（2）对（1）题的数据，试用EP 检验方法检验这些数据是否来自正态总体（取
则25个y 的观测值可算出，我们把它列
从上表中可以计算出W 的值：
当n=25时，查表知故在显著性水平
拒绝域为
由于样本观测值没有落入拒绝域内，
上不拒绝原假设，即可以认为样本来自对数正态分布.
在附表11中通过线性插值得到n=25时的0.95
分位数约为
计算得到的
小于该临界值，因此在显著性水平
（2）该问题可按计算TEP 的框图用任一种软件编程计算，这里用SAS
软件编程算得
若取显著性水平
0.05下接受这些数据是来自正态总体的.
4． 设，求的密度函数、数学期望与方差.
【答案】
因为
为
及
的可能取值范围为
且
为严格单调增函数，其反函数
所以Y 的密度函数为
这是对数正态分布
为求其数学期望，采用线性变换
可得
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上式最后一个等式成立是因为积分中的被积函数是为求Y 的方差，先求
施行相同的线性变换，可得
的密度函数之故.
上式最后一个等式成立是因为积分中的被积函数是
的密度函数之故. 由此得
5． 统计调查表明，英格兰在1875年至1951年期间，在矿山发生10人或10人以上死亡的两次事故之间的时间T （以日计）服从均值为241的指数分布. 试求P （50 【答案】 6． 设有k 台仪器，已知用第i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为些仪器独立地对某一物理量各观察一次，分别得到取何值，方能使 【答案】若要使 成为的无偏估计，且方差达到最小？ 为的无偏估计，即 则必须有 此时， 因此，问题转化为在令 的条件下，求 由 得到 从①中可以得到 代入②中，解出 从而 7． 设随机变量X ，Y 的概率分布相同，X 的概率分布为的相关系数 求二维随机变量（X ，F ）的联合概率分布；求概率 且X ，Y 的极小值. （i=l，2, …，k ）. 用这 应 ，设仪器都没有系统误差. 问 【答案】由于X ，Y 的概率分布相同，故 第 4 页，共 29 页