2018年安徽大学经济学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 在伯努利试验中，事件A 出现的概率为p , 令
证明:【答案】
服从大数定律.
为同分布随机变量序列，其共同分布为
表
且
从而
又当
时,
与独立，所以
又因为
于是有
即马尔可夫条件成立，故
2． 设随机变量
【答案】若随机变量而
这就证明了
试用特征函数的方法证明:
【答案】因
为
这正是伽玛分布
的特征函数，由唯一性定理知
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服从大数定律.
则
也服从
从而
证明
3． 设随机变量独立同分布，且
所以由
诸的相互独立性
得的特征函数
为
4． 设
为独立随机变量序列，且
证明:服从大数定律.
相互独立，且
【答案】因
故可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
5． 设
服从大数定律.
为独立随机变量序列，且
服从大数定律.
相互独立，且
服从大数定律.
上的均匀分布，试证明:
和
则
的密度函数为则
的密度函数为
是相互独立的标准正态随机变量.
由此可得马尔可夫条件
证明:
【答案】因为由马尔可夫大数定律知
6． 设随机变量与
（1）（2）
【答案】（1）设所以当即所以当即（2）因为所以
时，
又设时，
相互独立，且都服从
所以由此得
又因为
所以
的联合密度函数为
这说明X 和Y 是相互独立的标准正态随机变量.
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7． 设独立同分布，其共同的密度函数为
（1）证明:（2）计算
和
和
的均方误差并进行比较；
都是的无偏估计；
的估计中，
，故
最优.
，
（3）证明:在均方误差意义下，在形如【答案】 （1）先计算总体均值为. 这说明是的无偏估计. 又总体分布函数为
，
记
，则Y 的密度函数为
于是有
这表明
也是的无偏估计.
故有
又
从而
由于（3）对形如
，因此在均方误差意义下，的估计有
优于
，故
»
因此当在形如
8． 设
证明:
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（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于
时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，
的估计中，
是来自正态总体
最优.
的一个样本，若均值已知，