2017年黑龙江大学数学科学学院820高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
到
基
分别为A ，B 的伴随矩阵，
2．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
【答案】（A ）
3． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D
【解析】秩未知量个数，有零解.
4． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 5． 设均为n 维列向量，A 是矩阵，下列选项正确的是（ ）. A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有 由上述知 线性相关，所以 于是 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关. 则 线性无关， 线性无关时，若秩 线性相关. 由此可否定C ，D. 又由 因此 线性相关，故选A. 二、分析计算题 6． 计算 【答案】将行列式升阶 这是个箭形行列式，当时，有 当x=0时，上述结果显然也成立. 7． 把实数域R 看成有理数域Q 上的线性空间 ，判断向量组 【答案】向量组为此，设有若 则有 这是不可能的. 若 则有 根据归纳假设， 知 于任意正整数n , 结论均成立. 这里的P ，q , 是互不相同的素数. 是否线性相关？说明理由. 是线性无关的，可用数学归纳法证之. 使得 当n=l时，结论显然成立；假设结论对于n —1成立，下证对于n 结论也正确. 故向量组是线性无关的. 这就证得：对