2017年黑龙江大学数学科学学院820高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】
则线性方程组（ ）•
2． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知
4． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 5． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）. A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C 【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有 又 所以有 即A*右乘初等阵P （1，2）得-B* 解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 分别为A ，B 的伴随矩阵， 二、分析计算题 6． 已知下列非齐次线性方程组 ，用导出组的基础解系表示通解； （1）求解方程组（1） （2）确定方程组（2）中参数m ，n ，t 为何值，方程组（1）和（2）同解. ，将其增广矩阵用行初等变换化为简化阶梯形 【答案】（1）解方程组（1） 方程组的一般解是 其中是自由未知量. 取特解为导出组的基础解系（2）将特解 通解为 为任意数. ，解得m=2, n=4, t=6.当m=2, n=4, t=6时解（2）， 代入（2） ，因而当m=2，n=4, t=6时两方程组同解. 于是（2）的一般解也是（3） 7． 已知线性方程组 【答案】取 可得方程（2）的一般解 由于（2）的解均为方程组（1）的解，将上式代入方程组（1）得 （2）同解，试求
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