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一、选择题

1． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

.

【答案】C

【解析】

，而

2． 设

A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有

由上述知

线性相关，所以

于是

因此线性相关，故选A.

3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

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不一定是线性变换，

比如

不是惟一的.

均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

.

则也不是线性变换，

比如给

矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

则

线性无关，

线性无关时，若秩

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

4． 设n （n ≥3）阶矩阵

若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1

B. C.-1

D.

故

但当a=l时， 5． 二次型

A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

方法2 设二次型矩阵A ，则

是不定二次型，故选B.

是（ ）二次型.

【答案】B 【解析】

由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式

从而否定D ，故选B.

二、分析计算题

6． 设V 是数域K 上的n 维线性空间，

（1）存在

使得

使

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是V 的S 个真子空间，证明：

（2）存在V 中的一组基

【答案】（1）由有限不覆盖定理，（则令

2

）

由

（

1

）

知

是基，结论得证. 不然，

若

则

的真子空间，

使

7． 用两种方法求

的逆矩阵.

（1）用初等变换；

（2）按A 中的划分，利用分块乘法的初等变换. （注意各小块矩阵的特点. ） 【答案】⑴

故

故

线

性

无

关

，

且

线性无关.

是V 的基，结论得证，不然重复

上面的步骤，并如此进行下去，得到基

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