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一、计算题

1． 全长为1，两端面直径分别为d 1、d 2的圆锥形杆，在两端各承受一外力偶矩M e ，如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。

【答案】在距离小端x 处取微元体dx ，则其两端面之间的扭转角

其中，该截面的直径

相对应的极惯性矩:

将关系式代入式①，并积分即可得到该轴两端面间的相对扭转角:

2． 起重机械中的一部件如图1（a ）所示。试问:

（l ）当求部件的临界力F cr 时，取图1（b ）、（c ）中的哪一力学模型较为合理? （2）按图1（c ）所示简图，导出求欧拉临界力的方程; （3）若I 2=10I1，l 1=l2，则按两种简图所得的F cr 之比为多少?

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图1

【答案】（l ）选取图1（c ）所示力学模型较为合理。油缸虽不受压，但是由于活塞杆受压弯曲时，力的传递 可能会导致油缸的失效，从而影响临界力的大小。

（2）当图1（c ）中所示压杆在微弯状态下保持平衡，其挠曲线如图2所示，建立如图2所示坐标 系，可列出各段弯矩方程。

图2

各段挠曲线近似微分方程为: CB 段

AC 段

令

则以上两式可变形为:

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可得式①的通解和一阶导分别为:

对于式③，根据边界条件

可确定积分常数:

同时根据光滑连续条件:

将②、④带入连续性条件中，整理得:

由得:即:

边

界

条

件

代

入

式

②

可故:

联立⑤、⑥式构成齐次方程组，若使A 、B 、δ有非零解，则必须使上述方程组的系数行列式为零，

整理得:

将

代入上式并整理得:

由式⑦解得k 2的最小非零解，并由（3）根据题意，若解得k 2l 2最小非零解:

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可得压杆的临界压力值为:

，则代入式⑦可得: