2017年北华大学高等代数(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
是两个实二次型且B 正定. 证明：
（1）存在满秩线性变换X=TY，使
（2）上述的
的实根.
且
是实对称阵，从而存在正交阵T2，使
其中
的全部特征值. 令
则T 为实可逆阵，且由①，②可得
这时，令X=TY，由③，④两式知
（2）由上面③，④两式可得
两边取行列式有
2． 设A ，B 为n 阶矩阵，
（2）设
【答案】（1）由假设知A 有零化多项式阵. 进而设是A 的特征值，则
证明：
则B 的特征值都是1次单位根.
且
所以A 相似于对角
即A 的特征值均为1次单位根. 此即
且
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【答案】（1）B 正定.B 合同于E ，从而存在实可逆阵T1，使
（1）A 相似于对角阵，且对角线元素皆为1次单位根；
在①式两边左乘A ，右乘B , 并注意
得
则由上面（1）知，B 的特征值都是1次单位根.
3． 求所有满足条件
【答案】在已知等式中，令由因式定理，
有因式
得设
所以
将式（1）、式（2）代入已知等式，由消去律得
即有无穷多个x , 使不
难验证，对任一常数a ，如上
4． 设
满足题设要求.
均取同一值a ，所以
故
a 为常数.
由此有
的多项式
所以
是P 上n 维线性空间V 的一个线性变换.
仍是V 上线性函数；
为
（1）证明：对V 上的线性函数f ，（2）定义到自身的映射证明（3）设的矩阵为A. 证明：
【答案】（1）
在
是
上的线性变换
是V 的一组基，
是它的对偶基，并设（因此
称作
在下
下的矩阵为有
的转置映射）
故
是V 上线性函数.
故又
故
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（2）由定义
（3）由
于是
即有
这就证明了
在基
下的矩阵是
5． 求以下g （x ）能整除f （x ）的条件：
【答案】①用g （x ）去除f （x ），可得商和佘式分别为：
令
得
即
展开后比较两端同次项系数可得：
由此解得：
或
. 这就是g （x ）整除f （x ）的条件.
6． 证明：秩等于r 的对称矩阵可以表成r 个秩等于1的对称矩阵之和.
【答案】设A 是一个秩为r 的n 级对称矩阵，则有可逆矩阵C 使
②因f 次=4，g 次=2, 故商必为2次且首系数为1，令
其中1的个数等于A 的秩. 用表示对角线上第i 个元素为1, 其余地方都为0的n 级矩阵，则
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