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一、分析计算题

1． 在标准欧几里得空间

线性子空间【答案】由

所以

是W 的基. 解线性方程组

中有向量

求向量

在w 上的正交投影.

解得

故在W 上的正交投影为

2． 证明：秩等于r 的对称矩阵可以表成r 个秩等于1的对称矩阵之和.

【答案】设A 是一个秩为r 的n 级对称矩阵，则有可逆矩阵C 使

其中1的个数等于A 的秩. 用表示对角线上第i 个元素为1, 其余地方都为0的n 级矩阵，则

因为因此

的秩等于1，而

为可逆矩阵，所以上式中的

是对称矩阵. 因此A 可以表成r 个秩等于1的对称矩阵之和.

与

同为对角矩阵

3． 设A ，B 为实对称方阵. 证明：存在正交方阵U 使

【答案】设有正交方阵U 使

由此易知：

从而得AB=BA.

反之，设AB=BA.由于A 为实对称，故存在正交方阵U. 使

其中是单位方阵. 由AB=BA可知i

与

可换. 于是由（17）可设

显然每个实对称，

故存在正交方阵

使块

的可裂矩阵，则易知

为对角矩阵

令

是主对角线为

的秩等于1，而且

是正交方阵且由（17）与（18）得

即与同为对角矩阵.

4． 设A ，B 为n 阶方阵

，

①二次型

的矩阵为何？

问：

②若由于的矩阵为②若

则A 与B 是否相等？

虽为n 元二次型，但其矩阵不能肯定是A.

对称，故

【答案】①因为未假设A 对称，故

则A 与B 不一定相等. 例如，

但是

的系数分别为

中的系数

对应相等，故

但因为

不过，当因为

与故

5． 在

均为对称方阵时二者必相等： 展开后，

与

中，求向量在基下的坐标，设

（1）

（2）

【答案】（1）令由此得线性方程组

可解出，得

（2）令

由此得线性方程组

可解出，得

6． 求k , s, t满足何条件时有

【答案】解法I