2018年曲阜师范大学信息科学与工程学院602高等数学B(含线性代数)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知
其中E
是四阶单位矩阵
是四阶矩阵A 的转置矩阵
，
求矩阵A
【答案】
对
作恒等变形，
有即
由
故矩阵可逆.
则有
以下对矩阵做初等变换求逆，
所以有
2．
已知实二次
型的矩阵
A ，满
足且其
中
（Ⅰ）用正交变换xzPy
化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ）求出二次型【答案】（Ⅰ）由由
知，B
的每一列
满足
的具体表达式
.
知矩阵
A 有特征值即
是属于A 的特征值
.
则
与—
j
正交，于是有
令
的线性无关特征向
显然B 的第1,
2列线性无关
，
量
，从而知A
有二重特征值
设
对应的特征向量为
解得
将
正交化得：
再将正交向量组
单位化得正交单位向量组：
令
（Ⅱ）由于
则由正交变换
故
化二次型为标准形
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故二次型
3．
已知二次型
的秩为2.
求实数
a 的值
；
求正交变换x=Qy使得f
化为标准型.
【答案】⑴由
可得
，
则矩阵
解得
B 矩阵的特征值为
：当
时
，解
得对应的特征向量为
当时，解得对应的特征向量为
对于解得对应的特征向量为：
将单位转化为：. 令X=Qy, 则