2017年北京交通大学08106物理基础综合测试二之量子力学考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 自旋在
方向的粒子，磁矩为
置于沿z
方向的磁场中，写出其哈密顿量，并求其
概率幅与时间的关系。 【答案】将上述自旋在
方向的粒子（譬如电子）置于沿z 方向的磁场B 中观察其概率幅的
变化。这时的哈密顿矩阵为：
式中，
是泡利矩阵，
为粒子的磁矩。电子负电，从而自旋磁矩
与角动量的方
向相反。当自旋角动量和磁场同沿z 方向时，磁矩沿-z 方向。 可得薛定谔方程为：
即：
积分后得：
取t=0时刻的初始条件为则:
式中，
围绕极轴转动，相
由上式可以看出，粒子的自旋矢量始终与极轴保持固定的夹角但以角速度当于经典电磁学中磁偶极子在外磁场中拉莫旋进的角速度，如图所示。
图
2． 对于角动量算符（b ）定义升降算符态，则
也是
利用对易关系
的本征态.
同理可得则
其
中
是
符号
，
的三个分量之间的关系通式为
：
（b ）
若f 是则
可见
是
和
的共同本征函数，本征值分别为
代入
的本征方程
得
的共同本征函数，可设
证明：若f 是
的共同本征
（a ）在直角坐标系中，推导各分量之间的对易关系，并归纳出统一的表达式.
（c ）在球坐标系中，求解的本征方程. 【答案】（a ）由
（c ）在球坐标中，
利用周期性边界条件由归一化条件可得
相应的本征方程为
可得
则的本征态为
3． 粒子在势场作【
答
案
】
利
中运动，其中
用
波
试用变分法求基态能级的上限。试探波函数可取
函
数
的
归
一
化
公
式
由重新代入
得：
表达式，得：
其中
故基态能量的上限为：
4． 设一维简谐振子的初始（t=0）波函数为
为简谐振子的三个（n=0, 1，2）最低能量的定态波函数. 试求 （1）系数A = ? （2）t 时刻的波函数（3）t 时刻的能量平均值.
【答案】（1）由波函数的正交归一化条件有
故
（2） —维谐振子能量为故
t 时刻波函数为
（3）
各自对应概率为
7
均与时间无关，故t 时刻粒子能量平均值为