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一、填空题

1． —粒子的波函数为【答案】

2． 总散射截面Q 与微分散射截面 【答案】

3．

一维谐振子升、降算符密顿量H 用N 或【答案】

的关系是_____。 写出粒子位于

间的几率的表达式_____。

、a 的对易关系式为_____; 粒子数算符N 与、a 的关系是 ; 哈

、a 表示的式子是_____；N （亦即H ）的归一化本征态为_____。

4． 自旋为_____的微观粒子称为费米子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____, 自旋为_____的微观粒子称为玻色子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____。 【答案】的奇数倍；反对称变换

的整数倍；对称变换

5． 称_____、_____、_____等固有性质完全相同的微观粒子为_____。

【答案】质量；电荷；自旋；全同粒子

6．

当对体系进行某一力学量的测量时. 测量结果一般来说是不确定的. 测量结果的不确定性来源于_____.

【答案】测量的干扰

【解析】当我们对物理量进行测量时，不可避免地对体系施加影响，而这影响将导致体系的波函数发生变化，这最终导致对物理量的测量的不确定性.

二、简答题

7． 现有三种能级【答案】一维谐振子．

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请分别指出他们对应的是哪些系统。

对应一维无限深势阱；

对应

对应中心库仑势系统，例如氢原子；

8． 分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】

9． 解释量子力学中的“简并”和“简并度”。

【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。

10．何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？

【答案】在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的

每条光谱线都分裂为

条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。原子置于外

电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。

11．将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据

对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于

粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。

12．写出电子在外电磁场中的哈密顿量。 【答案】

13．写出在【答案】

14．什么是塞曼效应？什么是斯达克效应？

【答案】塞曼效应是原子在外磁场中光谱发生分裂的现象；斯达克效应是原子在外电场作用下光谱发生分裂的现象。

表象中的泡利矩阵。

三、计算题

15．设粒子从

入射，进入一维阶跃势场：当x ＜0时，如果粒子能量

（1）写出波动方程式并求解； （2）求透射系数；

（3）求反射系数并求与透射系数之和. 【答案】（1）粒子波动方程为

令

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而当x ＞0时

，

试

则方程的解为

其中第一部分为入射波，第二部分为反射波

.

此即透射波函数.

由波函数连续及波函数导数连续有

解得

则波函数为其中

（2）由概率流密度公式入射波函数概率流密度为

：反射波函数概率流密度为

：透射波函数概率流密度为

：透射系数即（3）反射系数即显然R+T=l.

16．一粒子在一维无限深势阱【答案】由一维定态薛定谔方程有

可知

中运动，求粒子的能级和对应的波函数.

又在边界处应该满足连续条件故

由归一化条件有

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