当前位置：问答库＞考研试题

一、简答题

1． 写出在【答案】

2． 简述波函数和它所描写的粒子之间的关系。

【答案】微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。 微观粒子的状态波函数则在

用算符的本征函数

展开

态中测量粒子的力学量^

得到结果为

的几率是

得到结果在

范围内的几率

为

3． 描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？

【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变化。

4． 写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。 【答案】总自旋为0:总自旋为1:

表象中的泡利矩阵。

5． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。

6． 坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 【答案】对易关系为

7． 电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】

利用

如何归一化？解释各项的几率意义。

进行归一化，其中

：

第 2 页，共 30 页

测不准关系为

表示粒子在

|处

的几率密度；

8． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符

表示粒子在处的几率密度。

定义电子的自旋算符，并验证它们

其中，

二、证明题

9． 证明，

【答案】因为

可得：

10．试证明，表象经么正变换后，不改变算符本征值。 【答案】设可得：

（其中

为幺正变换，则:

）

可见，本征值不变。

三、计算题

11．粒子在势场作【

答

案

】

利

用

波

函

数

的

由重新代入

得：

表达式，得：

第 3 页，共 30 页

中运动，其中试用变分法求基态能级的上限。试探波函数可取

归

一

化

公

式

故基态能量的上限为：

12．在一维情况下，若用（a ）从薛定谔方程出发，证明

表示时刻t 在区间内发现粒子的几率.

其中

是几率流密度.

（b ）对于定态，证明几率流密度与时间无关. 【答案】（a ）设t 时刻粒子的波函数

波函数满足薛定谔方程：

对（1）两端取复共轭得，

做运算

得

上式两边同除以移项得，

则几率流密度公式为上式可表示为

两端积分得：

又由于t 时刻在区间（a ，b ）内发现粒子的几率为：代入上式可得，

（b ）对于定态波函数

代入几率流密度方程

可得，

是一个与t 无关的量，故定态的几率流密度与时间无关.

13．（1）求算符【答案】⑴

第 4 页，共 30 页

的对易关系. （2）证明其中