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一、计算题

1． 图所示正方体上A 点作用一个力F , 沿棱方向, 问:

（1）能否在B 点加一个不为零的力, 使力系向A 点简化的主矩为零？ （2）能否在B 点加一个不为零的力, 使力系向B 点简化的主矩为零？ （3）能否在B , C 两处各加一个不为零的力, 使力系平衡？ （4）能否在B 处加一个力螺旋, 使力系平衡？ （5）能否在B , C 两处各加一个力偶, 使力系平衡？

（6）能否在B 处加一个力, 在C 处加一个力偶, 使力系平衡？

图

【答案】（1）可以（2）不能（3）不能 （4）不能（5）不能（6）可以

2． 确定两个自由度系统的自由振动需要几个运动初始条件？

【答案】需要四个初始条件.

3． 图示绞盘C 的半径为R , 转动惯量为J , 转动力偶的矩为M. 在滑轮组上悬挂重物A 和B , 其质量皆为m , 定滑轮和动滑轮的半径均为R. 忽略滑轮的质量和摩擦, 求绞盘的角加速度

.

图

【答案】选取绞盘转角为广义坐标. 系统广义力为:

Q=M

系统的势能为:

系统的动能为:

拉格朗日函数

L=T-V

代入拉格朗日方程

解得:

4． 图所示两个弹簧的刚度系数分别为的周期

.

物块质量m=4kg.求物体自由振动

图

【答案】两个弹簧串联, 等效刚度系数为:

取坐标原点为平衡位置处, 设在重力作用下变形量为, 则设垂直向下为正向, 则可得物块运动微分方程:

联立以上各式得:

令

上式可化简为:

则

为振动固有频率, 自由振动周期为:

代入数值解得:解得:

（c ）弹簧并联, 等效刚度系数为:

解得:

（d ）弹簧并联, 等效刚度系数为:

解得:

5． 工字钢截面尺寸如图所示, 求此截面的几何中心。

（b ）斜面倾角与运动方程无关, 弹簧串联,

图

【答案】由对称性可知,

由形心公式得

其中,

解得