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北京大学2001年硕士研究生入学考试试题

一.

1. 设f(x)在[0,1]上连续, 且∫1

0f (x ) dx =1, 记g(x)=∫f(t)dt, 求∫f (x ) g (x ) dx x 011

2. 求级数∑n x n =1∞22的和及收敛区间

3. 设函数f(x)和g(x)在[a,b]上有二阶导数, 且g’’(x)≠0, f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0 证明:

1) 在(a,b)内g(x) ≠0 2)存在ξ∈(a,b), 使f (ξ) f ''(ξ) = g (ξ) g ''(ξ)

4. 设方阵A 有三个特征值 1, 0, -1, 对应的特征向量

⎛1⎞⎛0⎞⎛1⎞⎟⎜⎟⎜⎟, ξ2=1, ξ3=1 1ξ1=⎜⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜0⎟⎜1⎟⎜1⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠

求 A 100

二.

1. 求¬(p ↔q ) →r 的一个析取范式和一个合取范式

2. 在形式系统P 中不用演绎定理证明 (α→((α→β)→β))

3. 在形式系统N L 中证明 ∀x (α→β) ∃x α→∃y (α∧β)

三.

1. 设A={{φ}, {{φ}}} 求

a) ∩A

b) ∪A

c) ∪∪A

d) ∪P(A)

e) P(∪A)

2. 无向图G 有21条边, 12个3度顶点, 其余顶点度数均为2

求G 的阶数n (写出解题过程)