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北京大学2000年硕士研究生入学考试试题

一.

d 2y 1. 设y=1+xe, 求2 dx y

2. 在曲线y=x2(0≤x ≤1) 上求一点A, 使得曲线y=x2与过点A 的水平直线, y轴围成的区域的面积最小

U V 3. 设U n >0, Vn >0 (n=1,2…), 当n 充分大时恒有n +1≥n +1, 证明: 若U n V n ∑U n =1∞n 收敛则∑V n =1∞n 收敛

⎛100⎞⎜⎟4. 设A=000, 求线性空间 C={B∈P 3x3|AB=BA}及其一组基, 其中P 3x3表示数域P 上3x3的⎜⎟⎜010⎟⎝⎠

矩阵的全体

二.

1. 设二元真值函数f 为:

f(0 0 0)=0, f(0 0 1)=1, f(0 1 0)=0, f(1 0 0)=1

f(0 1 1)=1, f(1 0 1)=1, f(1 1 0)=0, f(1 1 1)=1

试用一个仅含有联结词﹁, →的命题形式α来表示f

2. 在形式系统P 中, 证明 (α→β)→(¬β→¬α)

3. 在形式系统N L 中, 证明 恱∀x ∀y α→∃y ∀x α

三.

1. 填空

a) 设A={a,b,c,d}, B={α,β,γ}, 则A->B中共有___个满射函数

b) 设cardA=k≠0, cardB=0, 则card(A->B)=____

c) 设D 是n>=2阶有向简单连通图(弱连通), 则D 的可达矩阵的所有元素之和至少是_____ d) 完全二部图K r,s 的点覆盖数α0=____

e) 设Wn(n=2k, k>=2)为轮图, 则Wn 的点色数χ(Wn)=____

2. 设A={x|x为54的因子}, R⊆A×A, 且∀x,y∈A, xRy⇔x 整除y

a) 画出偏序集的哈斯图

b) 求出A 的一个划分块最少的划分Π, 使得Π的每个划分块都是关于R 的反链

c) 取A 的子集B={2,3,9}, 求出B 的最小元, 极大元和最小上界

3. 设G 为n 阶无向简单图, 已知δ(G)≥3, 证明G 中存在长度为偶数的圈.

四.

1. 设集合A={a,b,c,d}, A上的二元运算*的运算表如下:

a) 说明该运算是否为可结合的

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