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一、选择题

1． 量子谐振子的能量是（ ）

.

【答案】A

【解析】

由于谐振子的哈密顿算符为

2． 对力学量进行测量. 要能得到确定结果的条件是（ ） A. 体系可以处于任一态 B. 体系必须处于宏观态 C. 力学量必须是守恒量 D. 体系必须处于的本征态 【答案】D

【解析】若对力学量的测量得到的是确定结果，则要求体系必须处于定态，而处于定态的条件即体系处于力学量对应的本征态. 3．

【答案】

4． 一维运动中，

哈密顿量【答案】

_____

_____

_____

_____

_____。

而

本征值为n ，

于是谐振子能量为

二、填空题

5． —个电子运动的旋量波函数为

则表示电子自旋向上、位置在处

的几率密度表达式为_____，表本电子自旋向下的几率的表达式为_____。 【答案】

6． 总散射截面Q 与微分散射截面的关系是_____。

【答案】

7． （1）自由粒子被限制在x 和x+1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理. 如果没有给出其他资料，则粒子在 x 和x+1/3之间的概率是_____. A.025 B.033 C.011 D.067

（2）上题中，按照量子力学. 处于最低能态的粒子在x 和x+1/3之间被找到的概率是_____. A.019 B.072 C.033 D.050

【答案】（1）B

【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，

即所求概率为

（2）A

【解析】取x 为原点，则有波函数为所求概率即

8． 粒子在一维势阱中运动，波函数为

则

【答案】

则的跃变条件为_____

。若势阱改为势垒

的跃变条件为_____。

三、简答题

9． 放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？

【答案】与量子隧穿效应有关。

10．简述波函数的统计解释。

【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。

四、计算题

11．一粒子在力学量的三个本征函数所张成的三维子空间中运动，其

能量算符

和另一力学量算符的形式如（1）求的本征值和相应的归一化本征矢（用（2）证明的平均值不随时间变化. 【答案】（1）由

令

可得

其中a , b为实数。 表示）：

由久期方程可得：解得能量算符的三个本征值

将式中各个值代入式中可以得到

其中k 为

的平均值，而

其中由

为3行的任意列矩阵，则式和

式可知

即的平均值不随时间变化.

12．质量为m 的粒子处于角频率为的一维谐振子势中.

（a ）写出在坐标表象中的哈密顿算符，本征值及本征函数（可不归一化）.