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一、计算题

1． 设随机变量X 和Y 同分布，X 的密度函数为

已知事件

独立，且

求常数a.

由此解得P （A ）=0.5，进而由

解得

2． 设随机变量X 的分布函数如下，试求E （X ）

.

，从而

【答案】由同分布可得P （A ）=P（B ）

【答案】X 的密度函数（如图）为

图

所以

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3． 在一个单因子试验中，因子A 有三个水平，每个水平下各重复4次，具体数据如下：

表

因子A 的平方和

并指出它们各自的自由度.

试计算误差平方和与总平方和

【答案】此处因子水平数r=3，每个水平下的重复次数m=4，总试验次数为n=mr=12.首先，算出每个水平下的数据和以及总数据和：

误差平方和

由三个平方和组成：

于是

而

4． 设随机变量X 的概率密度函数为

对X 独立重复观察4次，Y 表示观察值大于π/3的次数，求【答案】因为事件“观察值大于；π/3”可用而Y 的分布列为

所以

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的数学期望.

表示，从而

5． 设A ，B 为两事件

，

【答案】由条件概率的性质知

其中

而

6． 设随机变量X 服从伽玛分布Ga （2，0.5），

试求

【答案】伽玛分布

的密度函数为

由于

因此所求概率为

代回原式，可得

7． 口袋中有n-1个黑球和1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一个黑球. 问第k 次摸球时，摸到黑球的概率是多少？

【答案】记事件

为“第k 次摸到黑球”，因为计算

较难，故先计算

由于口袋

中只有一个白球，而摸到球后换入的都是黑球，所以如果第k 次摸到白球变，故

8． 甲口袋有5个白球、3个黑球，乙口袋有4个白球、6个黑球，从两个口袋中各任取一球，求取到的两个球颜色相同的概率.

【答案】从两个口袋中各取一球，共有出黑球，这共有

种取法，于是

种等可能取法，而两个球颜色相同有两种情况：

第一种是从甲口袋取出白球、从乙口袋也取出白球；第二种是从甲口袋取出黑球、从乙口袋也取

则前面k-1次一定

不能摸到白球，即前面k-1次都摸到黑球，而换入的仍为黑球，即每次摸球时黑球数和白球数不

二、证明题

9． 设

【答案】因为离散场合,

当

时, g （y ）以概率

. 取

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存在, 试证:

是随机变量Y 的函数, 记

, 它仍是随机变量. 在

由于在Y 取固定值时,