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2018年辽宁大学生命科学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库

  摘要

一、解答题

1. 已知A 是3阶矩阵,

(Ⅰ)证明

:(Ⅱ

)设

【答案】

(Ⅰ)由同特征值的特征向量,

又令即由

线性无关,得齐次线性方程组

因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,

所以必有

线性无关;

(Ⅱ)因为

,

所以

线性无关.

是3维非零列向量,若线性无关;

非零可知,

是A 的个

2.

已知

二次型的秩为

2.

求实数a 的值;

求正交变换x=Qy使得f 化为标准型.

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【答案】

⑴由可得

则矩阵

解得B

矩阵的特征值为:

时,

得对应的特征向量为

当时,解得对应的特征向量为

对于

解得对应的特征向量为:

将单位转化为

:. 令X=Qy,

3. 证明n 阶矩阵与相似.

【答案】设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为,

故A 的n 个特征值为

且A 是实对称矩阵,则其一定可以对角化,且

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所以B 的n

个特征值也为

=-B的秩显然为1,故矩阵B 对应n-1

重特征值

对于n-1

重特征值由于矩阵(0E-B )

的特征向量应该有n-1个线性无关,进一步

矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量,即矩阵B 一定可以对角化,且从而可

知n

阶矩阵

与相似.

4.

已知

其中E

是四阶单位矩阵是四阶矩阵A 的转置矩阵

求矩阵A

【答案】

作恒等变形,

有即

故矩阵可逆.

则有

以下对矩阵做初等变换求逆,