2018年辽宁大学生命科学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1. 已知A 是3阶矩阵,
(Ⅰ)证明
:(Ⅱ
)设
【答案】
(Ⅰ)由同特征值的特征向量,
故
又令即由
线性无关,得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关;
(Ⅱ)因为
,
所以
即
线性无关.
求
是3维非零列向量,若线性无关;
且
非零可知,
是A 的个
令
故
2.
已知
二次型的秩为
2.
求实数a 的值;
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型.
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【答案】
⑴由可得
,
则矩阵
解得B
矩阵的特征值为:
当
时,
解
得对应的特征向量为
当时,解得对应的特征向量为
对于
解得对应的特征向量为:
将单位转化为
:. 令X=Qy,
则
3. 证明n 阶矩阵与相似.
【答案】设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为,
故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵,则其一定可以对角化,且
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所以B 的n
个特征值也为
=-B的秩显然为1,故矩阵B 对应n-1
重特征值
对于n-1
重特征值由于矩阵(0E-B )
的特征向量应该有n-1个线性无关,进一步
矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量,即矩阵B 一定可以对角化,且从而可
知n
阶矩阵
与相似.
4.
已知
其中E
是四阶单位矩阵是四阶矩阵A 的转置矩阵
,
求矩阵A
【答案】
对
作恒等变形,
有即
由
故矩阵可逆.
则有
以下对矩阵做初等变换求逆,