2018年兰州交通大学数理学院603数学基础与计算之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
线性表示.
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
使得
线性无关；
向量组
则
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
线性无关，
列向量组
线性无关.
和向量组
线性表示；
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量
2． 设A
为
的解为【答案】
由
利用反证法，
假设以有
有惟一解知
则方程组
. 即
矩阵
且
有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
于是方程组
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所有非零解
_
t 为任
为可逆矩阵，
且方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有非零解，即存在
有非零解，这与
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
3． 设三阶方阵A 、B
满足式
的值.
得
有
即可逆.
其中E 为三阶单位矩阵.
若求行列
【答案】
由矩阵
知则
. 可
逆.
又
故
即
所以
即
而
故
4． 已知A 是3阶矩阵
，
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
（Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
是3维线性无关列向量，且
令
记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与B 相似.
（Ⅱ
）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
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对于矩阵
B ，
由
得
所以
得特征向量那么由：
即
是A 的特征向量，于是
A 属于特征值-1
的所有特征向量是全为0.
（
Ⅲ）由
知
故
芄中
不
二、计算题
5
． 求一个正交变换把二次曲面的方程
【答案】记二次曲面为f=l
, 则f
为二次型，它的矩阵为
由
所以
A 的特征值为对应于
解方程Ax=0, 由
化成标准方程.
得单位特征向量对应于特征值
解方程（A —2E ）x=0.由 得单位特征向量
对应于特征值
解方程（A-llE ）x=0.由
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