2018年兰州交通大学数理学院603数学基础与计算之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
2． 已知A 是3阶矩阵
，
为任意常数.
是3维线性无关列向量，且
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
（Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
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令
记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与B 相似.
（Ⅱ
）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
对于矩阵B ，
由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量
那么由：
即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1
的所有特征向量是
全为0.
（Ⅲ
）由
3． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
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芄中
不
知
矩阵
逆
故
其中E 是n 阶单位矩阵.
且A 可对角化，
求行列式
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使或1.
4．
已知A
是
矩阵，齐次方程组的基础解系是
与
有非零公共解
，求a 的值并求公共解.
知
的解.
对
贝腕阵
又知齐
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
由
的列向量（即矩阵
作初等行变换
，有
得到
所以矩阵
的基础解系为
（
Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0的非零公共解为
由
对
线性表出，故可设
作初等行变换
，有
于是
则既可由
线性表出，也可
不全为
当a=0时
，解出
因此，Ax=0
与Bx=0
的公共解为
其中t
为任意常数.
二、计算题
5． 在
中取两个基
试求坐标变换公式.
【答案】记
：到基
:的过渡矩阵为
于是
故得坐标变换公式为
即从基
. 用矩阵的初等行变换求
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