2018年辽宁大学生命科学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为
2．
已知三元二次型
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值.
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
，由于
所以
为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量.
因为
是
的特征向量.
，由此可知是A 的特征
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
是1的线性无关的特
再单位化，可得
那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,
得
3．
已知
且
.
求
又
又
知
即
得
故
知
故
【答案】
由题意知
4．
已知实二次
型的矩阵
A ，满
足且其
中
（Ⅰ）用正交变换xzPy
化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ）求出二次型【答案】（Ⅰ）由由
知，B
的每一列
满足
的具体表达式
.
知矩阵
A 有特征值即
是属于A 的特征值
.
则
与—
j
正交，于是有
令
的线性无关特征向
显然B 的第1,
2列线性无关
，
量
，从而知A
有二重特征值
设
对应的特征向量为
解得
将
正交化得：
再将正交向量组
单位化得正交单位向量组：
令
（Ⅱ）由于
则由正交变换
故
化二次型为标准形
相关内容
相关标签