2018年长江大学植物保护314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知矩阵
可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B
的特征值也是
当
时，由秩
知
A 可以相似对角化.
而
有2个线性无关的解，
即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
时矩阵B 只有1个线性无
只有1个线性无关的解，即
关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似. 2．
设的所有矩阵.
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
得到方程组Ax=0
同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
即满足AB=£；
的所有矩阵为
其中为任意常数.
3．
已知
其中E
是四阶单位矩阵是四阶矩阵A 的转置矩阵
，
求矩阵A
【答案】
对
作恒等变形，
有即
由
故矩阵可逆.
则有
以下对矩阵做初等变换求逆，
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所以有
4．
设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型
（
Ⅱ）证明[!
【答案】（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，并求行列式
的值.
即或
贝
因为A
是
为矩阵A 的特征值，对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
实对称矩阵
，所以必可对角化，且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：
1
（
k 个），-1（n-k 个）. 故二次型
（Ⅱ）因为
故
的规范形为
所以矩阵B 的
特征
值是：
由于B
的特征值全大于0且B
是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，且
二、计算题
5． 设x 为n 维列向量.
【答案】对称性：正交性：
令证明H 是对称的正交阵.