2018年长江大学植物保护314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
设的所有矩阵.
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
得到方程组Ax=0
同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
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即满足AB=£；的所有矩阵为其中为任意常数.
2． 已知三元二次型
其矩阵A 各行元素之和均为0
,
且满足其中
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ
）若A+kE:五正定，求k 的取值
. 【答案】（Ⅰ）因为
A 各行元素之和均为
0, 即值
，
由征向量. 因为
是
的特征向量.
是
1的线性无关的特
，
由此可知
是A
的特征
可知-1是A 的特征值，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令
则有
（Ⅱ）因为A
的特征值为-1
, -1
, 0
, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k
,
由
A+kE
正定知其特征 值都大于0,
得
3． 设三维列向量组
（Ⅱ）当
线性无关，列向量组线性无关.
和向量组
线性表示；
（Ⅰ）证明存在非零列向量使得可同时由向量组
时，求出所有非零列向量
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【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
线性表示.
使得
线性无关；
向量组
则
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量
4． 设二次
型
（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ
）求【答案】
（Ⅰ）由
知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.
为标准形，并写出所用正交变换；
矩阵A 满足AB=0, 其
中
所有非零解
_
t 为任
记
值（至少是二重）
，
根据
值是0, 0, 6.
设
的特征向量为
有
则是
的线性无关的特征向量.
由此可知
，是矩阵A 的特征
故知矩阵A
有特征值因此，矩阵A 的特征
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，
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