题目：两类捕食食饵的反应扩散模型的解的性质

数学生态学是生物数学的一个重要分支. 其运用数学理论和数学方法描述生态系统的动态定量关系, 建立生态模型, 模拟物种行为. 多年来, 数学家和生物学家通过对数学生态学中模型的研究, 得到了很多有价值的结论. 这些结论不仅对数学理论本身有积极作用, 而且还能直接反映生态学的变化规律, 指导促进生产实践.

本文主要研究两类捕食-食饵的反应扩散模型. 一类是具有收获的Leslie-Gower 反应扩散模型

egin{equation*}

label{LeslieGower}egin{cases} frac{partial u}{partial t}=d_{1}Delta u+(1-u-bv-frac{h}{c+u})u, &~(x, t)inOmega imesmathbb{R}^+, \

frac{partial v}{partial t}=d_{2}Delta v+ ho(1-frac{v}{u})v, &~(x, t)inOmega imesmathbb{R}^+, \

frac{partial u}{partial
u}=frac{partial v}{partial
u}=0, &~(x, t)inpartialOmega imesmathbb{R}^+,

u(x, 0)=u_0(x)>0, v(x, 0)=v_0(x)>0, &~xinOmega.

end{cases}end{equation*}

另一类是具有Holling-Tanner项反应扩散模型

egin{equation*}

label{HollingTanner}egin{cases} frac{partial u}{partial t}=d_{1}Delta u+u(1-u)-frac{auv}{b+u}, &~(x, t)inOmega imesmathbb{R}^+, \

frac{partial v}{partial t}=d_{2}Delta v+rv(1-frac{v}{u}), &~(x, t)inOmega imesmathbb{R}^+, \

frac{partial u}{partial n}=frac{partial v}{partial n}=0, &~(x, t)inpartialOmega imesmathbb{R}^+.\

u(x, 0)=u_0(x)>0, v(x, 0)=v_0(x)>0, &~xinOmega.

end{cases}end{equation*}

针对Leslie-Gower模型, 文中研究了正常数稳态解的稳定性、存在性、不存在性及吸引区域. 以$ ho$为分歧参数, 验证了单特征值分歧、整体分歧、Hopf分歧. 具体如下: 1. 利用谱分析和稳定性理论得到了两个正常数平衡态的局部稳定性; 2. 利用能量积分的方法得到正稳态解的上下界估计和非常数正解的不存性; 3. 利用单特征值分歧理论得到了稳态问题分歧的存在性和非常数正解的存在性; 4. 应用全局分歧定理验证了整体分歧的存在性, 并且对一维系统给出了整体分歧解的刻画; 5. 运用Hopf分歧理论, 验证了正常数平衡解Hopf分歧的存在性; 6. 应用不变区域理论和极值原理, 给出不变区域的表达式和吸引区域的存在性; 7. 运用MATLAB软件在一维情况下, 对系统的正解进行数值模拟, 验证了非常数正解的稳定性.

针对Holling-Tanner模型, 文中利用抛物方程的极值原理和比较原理, 给出了最终一致上界和最终一致正下界, 并用迭代的方法得到了正常数平衡态的全局渐近稳定性.