2017年长安理工大学概率论基础50%抽样调查50%之概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量X 的概率密度为
（1）求Y 的分布函数； （2）求概率
从而a=9.
【答案】（1）先求常数a 的取值：设随机变簠Y 的分布函数为
则
令随机变量
故随机变簠Y
的分布函数为
故
2． 设
【答案】记
为来自
的样本，试求假设样本的联合密度函数为
两个参数空间分别为
利用微分法可求出在上MLE , 于是似然比统计量为
分别为
的似然比检验.
的MLE , 而在上为u 的
通过简单的求导计算可知，函数
在（0, 1）区间内单调递增，在（
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）上单调递减，于
是
从而似然比检验等价于采用
做检验统计量，也就是说，似然比检验与传统的双侧卡方
检验是等价的.
3． 每次射击命中率为0.2，试求：射击多少次才能使至少击中一次的概率不小于0.9?
【答案】设共射击n 次，记事件为“第i 次射击命中目标”，i=l，2，…，n ，则由题设条件知
由此得
两边取对数解得
所以取n=11可满足题设条件.
4． 某单位招聘员工，共有10000人报考. 假设考试成绩服从正态分布。且已知90分以上有359人，60分以下有1151人. 现按考试成绩从高分到低分依次录用2500人，试问被录用者中最低分为多少？
【答案】记X 为考试成绩，则
由频率估计概率知
上面两式可改写为
再查表得
由此解得
设被录用者中最低分为k ，则由
查表得
注：当p<0.5时，
满足等式为
即可查得-X.
5． 设
是来自如下总体的一个样本
（1）若的先验分布为均匀分布U （0, 1）, 求的后验分布； （2）若的先验分布为【答案】
的联合密度函数为
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从中解得因此取被录用者中最低分为78.75分即可.
的茗在标准正态分布函数表上不易查得，故改写此式
求的后验分布.
，当（1）对先验分布U （0，1）时，后验分布为
（2）对该先验分布，当时，后验分布为
6． 设X 为随机变量，其样本空间为
记事件
写出下列各事件(1)：
(2)
(3)
(4)
【答案】
的图示如图:
图
（1）
（2）（3）由于（4）由于
所以
所以AB=A，故
故
的密度函数；（2）
7． 设随机变量X 服从区间（0，2）上的均匀分布，（1）求
【答案】X 的密度函数为
（1）其反函数为
的可能取值区间为（0，4）. 因为
所以
在区间（0，2）上为严格单调增函数，的密度函数为
（2）
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