2018年北京信息科技大学理学院822常微分方程考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 求微分方程满足初值条件的特解
：
【答案】
令
可积分得
方程化为
由初值条件有
即
由初值条件知应取
初值条件有
特解为再积分得由
2． 解方程
：
【答案】由已知条件可得
：
故两边同除以
得
所以有
故原微分方程方程的通解为
3． 设函数f （u ），g （u
）连续、可微且
有积分因子
【答案】
用乘方程两端，
得
试证方程
因为
所以
，
4．
证明微分方程是原方程的积分因子.
的任一个解的存在区间都是有界的.
【答案】右端函数
解的存在惟一性定理，
所以方程
在整个xOy 平面上连续，且对y 有连续的偏导数，根据
经过平面上任意一点
说，解
在区间
即
由此推出
或者
显然是一个有限区间. 当的解是存在且惟一的，并将延拓到无限远. 但还不能为它的右侧最大存在区间，当使得
时
，时，
则存在正数因此上面的解
的最大存在区间是无界的. 设内满足方程（1）,
从
到积分此不等式，得
于是
由此推出是一个有限数，
即是一个有限区间.
5． 验证下列方程是恰当微分方程，并求出方程的解：
（1
）
（2
）
（3
）
（4
）
（5
）
【答案】（1
）这里
这时
因此方程是恰当微分方程. 现在求U , 使它同时满足如下两个方程
：
第一个方程对X 积分，
得到对此等式两端关于y 求导，
得
与
积分后得到
.
相比较得到
所以
即得到原方程的通解为
（2
）这里
这里c 是任意常数. 这时
因此方程是恰当微分方程.
现在求u ，使它同时满足如下两个方程：
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