2018年吉林大学通信工程学院902常微分方程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
考虑方程组
其中函数
一阶偏导数于域D 内连续
，在单连通区域D 内有连续偏导数，
假设存在函数其在D 内不变号且在D 内的任一子域内不恒等于零. 试证明上述方程组于域D 内不存在任何周期解.
应用此结论证明方程
没有极限环存在，
其中为常数，
且
【答案】假设D 内存在周期为T
的周期解
根据格林公式，对于由T
所围成的区域
有
所以在区域
这与已知
在任何周期解.
令
化为方程组
上恒有成立.
在D 的任一子域内不恒等于零相矛盾，故原方程组在D 内不存则可将方程
取
则
所以方程不存在任何周期解，当然更没有极限环存在.
2．
求微分方程
【答案】
方程的通解. 为不含自变量x 的二阶方程. 可令y
为新自变量
方程化为
即
或
前一方程有解
后一方程当
时有
而
即
也是解方程的通解为
含于通解中）.
证明齐次方程
及
其中为任意常数
（前一方程的解3．
若
有积分因子
【答案】方法一 用凑微分法求积分因子，
将方程左端恒等变形
而
所以原方程变为
用乘上式两边，
得
由于为齐次方程，
则
也为零次齐次函数，
故它可表示成
为零次齐次函数，
从而的某一函数，
记为即有
原方程进一步可改写成
它为一个恰当方程，
表明
方法二 化为分离变量方程求积分因子. 为齐次方程的积分因子.
设M （x , y ）, N （x , y ）是m 次齐次函数，令y=ux, 则dy=xdu+udx,
有
将其代入原方程M （x , y ）dx+N（x , y ）dy=0中，
得
可以看出上式方程为可分离变量的方程，
只要给上式乘以因子
方程就可变量分离，即化为恰当方程，因此，
齐次方程的积分因子是
方法三 用定义求积分因子，由积分因子的定义，只需证明二元函数
，
满足即可. 为此，
计算
由于为齐次方程，
令
显然
故
因而μ是齐次方程的积分因子.
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