2018年华北理工大学生命科学学院705线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设二次
型
（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ
）求【答案】
（Ⅰ）由
知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.
为标准形，并写出所用正交变换；
矩阵A 满足AB=0, 其
中
记
值（至少是二重）
，
根据
值是0, 0, 6.
设
有
对
正交化，
令的特征向量为
有
则是
的线性无关的特征向量.
由此可知
，是矩阵A 的特征
故知矩阵A
有特征值因此，矩阵A 的特征
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，
则
解出
再对，单位化，得
那么经坐标变换
即
二次型化为标准形
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（Ⅱ）因为
又
有
所以由
于是
进而
得
其中
E 是n 阶单位矩阵.
2
． 设B
是
（
I
）证明（II
）证明
（III ）若【答案】⑴
矩阵
逆
且
A 可对角化
，
求行列式
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
使或1.
3
． 已知通解是.
,
证明
【答案】由解的结构知
是
4阶矩阵
，其中
是齐次方程组
故秩
是4
维列向量. 若齐次方程组
Ax=0的
的基础解系.
又由得
因与
有
即故都是
的解. 由
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可知综上可知
，
4．
已知矩阵
可逆矩阵P ，使
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B
的特征值也是
当
时，由秩
知
A 可以相似对角化.
而
有2个线性无关的解，
即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
时矩阵B 只有1个线性无
只有1个线性无关的解，即
关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似.
二、计算题
5． 写出下列二次型的矩阵：
（1
）
【答案】
⑴记
故f
的矩阵为
则
（2）与（1）相仿
，
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