2018年华北理工大学生命科学学院705线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
设矩阵
求一个秩为2的方阵B. 使
【答案】
令
即
取.
进而解得的另一解为则有
.
的基础解系为：
方阵B 满足题意.
令
2．
已知
且.
求
故
【答案】
由题意知又
又
知
即
3． 设n 维列向
量
【答案】
记
得
故
知
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
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显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为
数. 4．
设
矩阵.
【答案】
有无穷多解.
易知特解为
从而②的通解，
即①的通解为
对应齐次方程
A 为任意常
求A
的特征值，并讨论A 是否可对角化? 若A 可对角化，则写出其对角
于是A 的3个特征值为（Ⅰ）当
且
时，A 有3个不同特征值，故4可对角化，且可对角化为
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（Ⅱ）当a=0时
，
此时A 有二重特征值1，
仅对
应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
（Ⅲ）
当
时
，
此时
A
有二重特征
值
而
仅对应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
二、计算题
5．
设
问λ为何值时，此方程组有惟一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求其通解. 【答案】由于系数矩阵是方阵，其行列式
当
当
即
且
时，方程组有惟一解.
时，增广矩阵成为
可见R （A ）=2, R （B ）=3
，当
时，増广矩阵成为
方程组无解；
知R （A ）=R（B ）=1，方程组有无穷多解，且其通解为
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