2018年湖南师范大学资源与环境科学学院610高等数学之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
矩阵
且A 可对角化，
求行列式
逆
其中E 是n 阶单位矩阵.
使或1.
2． 已知A 是3阶矩阵
，
是3维线性无关列向量，且
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
（Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与
B 相似
.
（Ⅱ
）由
A 的特征值为
-1, -1，-1.
对于矩阵B
，
由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量那么由：即
是A 的特征向量，
于是A
属于特征值-1
的所有特征向量是
全为0.
（Ⅲ）由
知
故
线性无关，列向量组
线性无关.
和向量组
线性表示；
3
． 设三维列向量组
（Ⅱ）
当
【答案】（
Ⅰ）由于
4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记和向量组向量
线性表示.
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
使得
线性无关；
向量组
则
构成的向量组一定线性相关
，故存在一组不
即，
线性无关
，故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为0.
使得可同时由向量组
芄中
不
（Ⅰ）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
（Ⅱ）易知，求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为_意非零常数.
因此，
所有非零列向量
4．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
所有非零解_
t
为任
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A 的特征值是当
时，
由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵
A 有
2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。
二、计算题
5． 设
问λ为何值时，此方程组有惟一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求其通解. 【答案】由于系数矩阵是方阵，其行列式
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