2017年山东大学金融研究院825线性代数与常微分方程之高等代数考研仿真模拟题
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2017年山东大学金融研究院825线性代数与常微分方程之高等代数考研仿真模拟题（一） ... 2 2017年山东大学金融研究院825线性代数与常微分方程之高等代数考研仿真模拟题（二） ... 9 2017年山东大学金融研究院825线性代数与常微分方程之高等代数考研仿真模拟题（三） . 15 2017年山东大学金融研究院825线性代数与常微分方程之高等代数考研仿真模拟题（四） . 21 2017年山东大学金融研究院825线性代数与常微分方程之高等代数考研仿真模拟题（五） . 28
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一、选择题
1． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
2． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故
是
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
的基础解系. 又由
3． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
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则线性方程组（ ）•
【答案】D 【解析】
4． 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解空间分别为
则当（ ）时，此时二次型为正定二
为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
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的解，则（ ）。
则
所以
【答案】（C ） 【解析】设即证秩 5． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
所以f 为正定的.
二、分析计算题
6． 已知二次型
（1）求a 的值.
（2）求正交变换X=QY, 将（3）求方程【答案】（1）
的解. 的矩阵
由r （A ）=r（f ）=2, 则
故a=0. （2）因为
故A 的特征值为0, 2（二重）。 解方程组（OE —A ）X=0,
取基础解系
（2E —A ）X=0, 取基础解
系
令
（3）由
7． 已知1，1，-1是3阶实对称矩阵A 的三个特征值，的特征向量.
（1）求A 的属于（2）求可逆矩阵P ，使【答案】（1）设必正交，则
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的秩为2.
化为标准形.
单位化得
显
然
故
注意到Y=Q’X , 故
则f 经正交变换X=QY, 化为标准形
’解方程组将之单位化
得
则为自由未知量.
是A 的属于
的特征向量.
为对角矩阵.
由A 实对称，属于其不同特征值的特征向量
的特征向量为