2017年新疆农业大学林学与园艺学院610大学数学2之高等数学考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 计算斯托克斯公式，计算下列曲线积分：
（1）
，其中为圆周
，若从x 轴的正
向看去，这圆周取逆时针方向；
（2）
，其中为椭圆
，若从x 轴正向看去，这椭圆是取逆时针方向；
（3）
圆周是取逆时针风向；
（4）
圆周是取逆时针方向。
【答案】（1
）取为平面法向量为
（图1）
由斯托克斯公式
的上侧被所围成的部分，则的面积为πa ，的单位
2
，
，其中是圆周，若从z 轴正向看去，这
，其中是圆周，若从x 轴正向看去，这
图1 图2
（2）如图所示，
取
为平面
的上侧被
所围成的部分
，
的单位法向量
。由斯托克斯公式
现用两种方法来求解法一：由于
2
域的面积=πa ，故
的面积A ，而
在xOy 面上的投影区
解法二：用曲面积分计算法。 由于在上，
，则
又
，故
将所求得的代入①式，得
（3）取为平面z=2的上侧被所围成的部分，则
的单位法向量为面上的投影区域D xy 为
，于是由斯托克斯公式
在xOy
（4）即为xOy 面上的圆周
，取为圆域
的上侧，则由斯托克斯公式
2． 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:
【答案】（1）如图1所示，用直线y=x将积分区域D 分成
两部分
于是