2017年山东理工大学理学院856高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置.
A （3, 4, 0），B （0，4，3），C （3, 0, 0），D （0，﹣1, 0）
【答案】在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零. 比如xOy 面上的点的坐标为（为（0，
，
）.
，0，0），y 轴上的点的坐标为（0，
，0），z 轴上点的坐标为（0，0，
）.
，
，0），xOz 面上的点的坐标为（
，0，
，yOz 面上的点的坐标）
在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零，比如x 轴上的点的坐标为 （
2． 已知向量.
【答案】
由于
同时垂直，故所求向量可取为
A 点在xOy 面上，B 点在yOz 面上，C 点在x 轴上，D 点在y 轴上.
，（1，﹣1，2）
（3, 3, 1）和
（3, 1, 3）. 求与
同时垂直的单位
由
知
3． 利用斯托克斯公式把曲面积分如下：
（1）（2
）
，为上半球面
为立方体
的上侧，n 是的单位法向量；
的
，从z 轴正向看去取逆时针向
，
化为曲线积分，并计算积分值，其中A , 及n 分别
表面外侧去掉xOy 面上的那个底面，n 是的单位法向量。
【答案】（1）的正向边界曲线为xOy 面上的圆周的参数方程为
t 从0变到2π。
由斯托克斯公式
（2）的边界曲线为xOy 面上由直线轴正向看去取逆时针向，由斯托克斯公式
所围成的正方形的边界，从z
4． 设函数
由方程
（1） 即令
及
, 故得到函数惟一驻点
确定, 求f （x ）的极值。
【答案】由题意, 在方程两边同时对x 求导一次, 得到
在（l ）式两边同时对x 求导一次, 得
把x=l, y=-2, y’（l ）=0代入, 得
5． 画出下列各曲面所围立体的图形：
（1）抛物柱面（2）抛物柱面（3）圆锥面（4）旋转抛物面
【答案】（1）如图1所示； （2）如图2所示； （3）如图3所示；
, 故函数在x=1处取得极小值y=-2。
，平面z=0及
及旋转抛物面，柱面
；
；
，平面z=0及x=1.
，平面y=0, z=0及x ＋y=1；
（4）如图4所示
.
图1 图
2
图3 图4
6． 已知函数向倒数。
【答案】根据方向导数与梯度的关系知，f （x , y ）沿着梯度方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模。
因
为
，此题目转化为对函
数下的最大值，即为条件极值问题.
为了计算简单，可以转化为
对
下的最大值。
构造函数：令
在约束条件C
：
，
故
，
模
在约束条件C
：
，曲线C ：
，求f （x , y ）在曲线C 上的最大方
得到
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