2017年西北师范大学计量经济学912考研复试核心题库
● 摘要
一、简答题
1． 什么是正规方程组? 多元线性回归最小二乘估计的正规方程组，能解出唯一的参数估计的条件是什么?
【答案】正规方程组是指采用OLS 估计线性模型时，对残差平方和关于各参数求偏导，并令偏导数为零后得到的一组方程，其矩阵形式为在，或者说各解释变量间不完全线性相关。
2． 假使在回归模型
中，用不为零的常数
去乘每一个x 值，这会不会改变Y
。
存
对于多元线性回归最小二乘估计的正规方程组，能解出唯一的参数估计量的条件是
的拟合值及残差? 如果对每个x 都加大一个非零常数【答案】回归模型则有:
，又会怎样?
，
的样本回归模型记为
的拟合值与残差分别为:
（1）记
，则有:
记新总体模型对应的样本回归模型为:
则有:
于是在新的回归模型下，Y 的拟合值与残差分别为:
因此，对x 乘非零常数后，不改变Y 的拟合值与模型的残差。 （2）记
，则有
，于是新模型的回归参数分别为:
在新的回归模型下，Y 的拟合值与残差分别为:
因此，对x 都加大一个非零常数后，也不改变Y 的拟合值与模型的残差。
3． 在多元线性回归分析中，用什么来衡量估计模型对样本观测值的拟合优度? 为什么? 【答案】在多元线性回归分析中，常用调整的可决系数，而不用可决系数来衡量估计模型对样本观测值的拟合优度。这是由于未调整可决系数高（即
随着样本解释变量个数的增加，
的值越来越
是解释变量个数的增函数）。也就是说，在样本容量不变的情况，在模型中增加新的解
不是一个“适的指标，需加以调整。
释变量不会改变总离差平方和，但可能增加回归平方和，减少残差平方和，从而可能改变模型的解释功能。因此在多元线性回归模型之间比较拟合优度时，而调整的可决系数
，其值不会随着解释变量个数K 加而增加，因此在用
。
于估计多元回归模型方面要优于未调整的可决系数
二、计算题
4． 记样本回归模型为
，试证明:
（1）估计的Y 的均值等于实测的Y 的均值:
（2）残差和为零，从而残差的均值为零:
（3）残差项与x 不相关:
（4）残差项与估计的Y 不相关:
【答案】（1）由于
，所以:
（2）由一元回归模型OLS 估计正规方程组中的第一个正规方程:
得：
。
（3）由一元回归模型OLS 估计正规方程组中的第二个正规方程:
即得
。
（4）由（2）（3）的结论可得:
5． 在一项对某社区家庭对某种消费品的消费需要调查中，得到下表所示的资料。
请用手工与软件两种方式对该社区家庭对该商品的消费需求支出作二元线性回归分析，其中手工方式要求以矩阵表达式进行运算。
（1）估计回归方程的参数及随机干扰项的方差
，计算
及
。
（2）对方程进行F 检验，对参数进行，检验，并构造参数95%的置信区间。
（3）如果商品单价变为35元，则某一月收入为20000元的家庭的消费支出估计是多少? 构造该估计值的95%的置信区间。