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一、证明题

1． 叙述并证明：二元函数极限的惟一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理.

(1) 惟一性定理：若极限(2) 局部有界性定理：

若

上有界.

(3) 局部保号性定理：若

的某空心邻域

使得对一切点

在点

时，

从而，

由(2)

设即

这说明函数(3)

设故当对于

2． 证明：若

【答案】因为于是当n>N时，有 3． 设f 在点证明：

【答案】由于

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存在，则它只有一个极限.

则存在点

的某空心邻域

则对任意正数

桓有

处的极限，则对任给的

存在使

存在

当

在1

【答案】(1) 设A ，B 都是二元函数

的任意性，故A =B

则对

存在

对

有

在上有界.

由函数极限的定义知：存在相应的

时，

对一切

有

的情况可类似证明.

则对任一正整数k , 有

所以，对于任给

所以

存在N , 当n>N时，

因此

相邻两个向量之间的夹角为

可微，且在给定了 n 个向量

所以

而

故

4． 证明：(1) 界的；(2) 若

【答案】(1) 不妨设对一切的

(2)

因 均有

故当又对每个

令.

5． 设

时，对所有

有

均有

面N 项(有限项) 外是一致有界的.

由柯西准则知，

对任意正数

存在

当

时，

对所有

且f 在上有界，则由

从而，

证明对所有

至多除有限项外在上是一致有

在上一致有界. 存在N , 当

故

时，

除前

可得，对于有

且对每个正整数II

，在上有界，则

则对所有正整数N 及对一切

均有

即

在上一致有界.

在上有界，特别地，

其中f 为可微函数，证明：

则

【答案】设

所以

6． 证明

：

【答案】令

其中

因为

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所以函数

所以

在即

上是凸函数.

因此

而

二、解答题

7． 研究函数

【答案】由

于

当

时，

当

时，

因此

所以

在

处不连续，当

在

上连续，所以当

时，函数

连续.

8． 在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数：

【答案】(1) (i

)

及其周期延拓的图像如图1所示，

图 1

显然f (x ) 在因为

所以在区间

内，

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的连续性，其中在

在闭区间上是正的连续函数.

上是正的连续函数，故存在正数m , 使得

，

内按段光滑，由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数，